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数学

漫画・ゲーム・アニメ以外で何か好きなものがあるかと言われたら、数学ですね。
大学に入ってからはほとんど数学をやってませんので、高校数学程度の知識ですけど…
で、高校時代に数式をいじくってたら、自分のなかで大発見があったんですよ。


　p を素数、n を任意の正整数とすると、n^p - n は p で割り切れる。

素数じゃないとダメっていうのが自分のなかで究極に面白くて、
「これは『（汗達磨の本名）の法則』だー！」
と喜んでいました。
…ま、後にフェルマーの小定理と呼ばれるものと同じであることを知ったんですが。
一応、これは高校数学の知識だけで証明できるものです。
_nC_rが常に整数になることの証明と、パスカルの三角形、あと数学的帰納法でOKですね。

帰納法の部分だけやってみます。
　

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(1) n=1 のとき
1^p - 1 = 0 であり、題意を満たす。
　
(2) n=k のとき、k^p - k = mp (m は 0 以上の整数) と仮定する。
　
(3) n=k+1 のとき
　(k+1)^p - (k+1)
= _pC_0k^p + _pC_1k^{p-1} + ... + _pC_{p-2}k^2 + _pC_{p-1}k + _pC_{p} - k - 1
= (k^p - k) + _pC_1k^{p-1} + ... + _pC_{p-2}k^2 + _pC_{p-1}k
　
ここで、_pC_q = \frac{p!}{q!(p-q)!} (1 \le q \le p-1) は整数であり、分母に p 以上の値を因数に持たないため、
_pC_q 自体が p を因数に持つ。
つまり、_pC_q は p の倍数である。
　
ここで、_pC_1k^{p-1} + ... + _pC_{p-2}k^2 + _pC_{p-1}k = lp (m は 0 以上の整数) と置くと、
　(k+1)^p - (k+1)
= (k^p - k) + lp
= mp + lp ((2)より)
= (m + l)p
　
よって、k+1 の場合も題意を満たす。
　
(1)(2)(3)より証明された。

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こんなもんかな？

ま、たまに数学の話もしていこうっと。